4*. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Пусть в треугольнике ABC из вершины B проведены медиана BM и высота BH, которые делят угол B на три равные части, то есть ∠ABH = ∠HBM = ∠MBC = α. Тогда ∠ABC = 3α. Так как BH - высота, то ∠BHA = 90°. В прямоугольном треугольнике ABH: ∠ABH = α, следовательно, ∠BAH = 90° - α. Так как BM - медиана, то AM = MC. Обозначим AM = MC = x. Рассмотрим треугольник ABM. В нем ∠ABM = 2α. Применим теорему синусов: $$\frac{AM}{\sin(2\alpha)} = \frac{AB}{\sin(\angle AMB)}$$ $$\frac{x}{\sin(2\alpha)} = \frac{AB}{\sin(\angle AMB)}$$ Рассмотрим треугольник ABC. Применим теорему синусов: $$\frac{AC}{\sin(3\alpha)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$$ Так как AC = 2x, то $$\frac{2x}{\sin(3\alpha)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$$ Разделим второе уравнение на первое: $$\frac{2x \sin(2\alpha)}{x \sin(3\alpha)} = \frac{\sin(\angle AMB)}{\sin(\angle ACB)}$$ $$\frac{2 \sin(2\alpha)}{\sin(3\alpha)} = \frac{\sin(\angle AMB)}{\sin(\angle ACB)}$$ Из условия задачи следует, что ∠ABH = α, ∠HBA = α и ∠HBM = α, следовательно, ∠ABC = 3α. В прямоугольном треугольнике ABH: ∠BAH = 90° - α. Предположим, что треугольник ABC не является прямоугольным. Тогда ∠ACB ≠ 90°. Если ∠ACB < 90°, то ∠BAC > 90° - α, что невозможно, так как медиана BM делит угол B на три равные части. Если ∠ACB > 90°, то ∠BAC < 90° - α, что также невозможно. Следовательно, наше предположение неверно, и ∠ACB = 90°. Следовательно, треугольник ABC - прямоугольный.