25. Медиана ВМ и биссектриса Ар треугольника АВС пересекаются в точке К. длина стороны АС втрое больше длины стороны АВ. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС.

Пусть дана треугольник ABC, медиана BM и биссектриса AP, пересекающиеся в точке K. AC = 3AB.

Требуется найти отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.

Обозначим AB = x, тогда AC = 3x.

Т.к. AP - биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника, BP/PC = AB/AC = x/3x = 1/3.

BP + PC = BC, BP = BC/4, PC = 3BC/4.

Т.к. BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 3x/2.

Рассмотрим треугольник ABM. AK - биссектриса, BK - медиана. По свойству биссектрисы, MK/AK = BM/AB = MC/AC, MK/AK = BC/4/AM = 3x/4/2x/2=1/3

S(ABM) = S(ABC) / 2, т.к. BM - медиана.

S(ABM) = AB * BM * sin(B) / 2 = x * BM * sin(B) / 2 .

S(ABC) = AB * BC * sin(B) / 2 = x * 3x * sin(B) / 2 = x sin(B) .

S(ABK)/S(BMK) = AK/MK.

S(ABK) = (3/4) S(ABM), S(BMK) = (1/4) S(ABM), следовательно, S(BMK) = 1/2 .

S(KPCM) = S(ABC) - S(ABK) - S(BMK). S(KPCM) = S(KCPM) / S(ABC) / 2 .

S(ABC) = S(ABC).

S(AP) = S(PK). (1/4).

По теореме Менелая для треугольника ACM и прямой BP: CB/BM * MK/KA * AP/PC = 1, BM = 1/4 AM.

CB/AM MK/KA AP/PC = 1/3 PC, BM / KA CB, AP/PC = 3/4

S(ABK) = 1/6 13 AC,BM 16 B sin(12)BM= 14 6/2 .

S(BMK) S(ABC 1 1SABC 12

38

Ответ: 3/8