23. Найдите боковую сторону АВ трапеций ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=36.

Пусть дана трапеция ABCD, где углы ABC = 60° и BCD = 135°, CD = 36.

Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке E.

Угол CBE = 180° - угол ABC = 180° - 60° = 120°.

Угол BCE = 180° - угол BCD = 180° - 135° = 45°.

Угол BEC = 180° - угол CBE - угол BCE = 180° - 120° - 45° = 15°.

Опустим высоту CF из точки C на прямую AB.

Рассмотрим треугольник BCF. Угол CBF = 60°, угол CFB = 90°, следовательно, угол BCF = 30°.

Рассмотрим треугольник CFE. Угол CFE = 90°, угол FEC = 15°, следовательно, угол FCE = 75°.

В треугольнике CDE угол CDE = 135°, угол CED = 15°, следовательно, угол DCE = 30°.

Из этого следует, что треугольник CDE - равнобедренный (CE = DE).

Проведём высоту DH к стороне CE. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH, в котором CD = 36, а угол DCH = 30°. Тогда CH = CD * cos(30°) = 36 * (√3/2) = 18√3.

CE = 2 * CH = 2 * 18√3 = 36√3.

В прямоугольном треугольнике CFB угол CBF = 60°, значит, CF = CB * sin(60°) = AB * (√3/2).

В прямоугольном треугольнике CFE угол FEC = 15°, значит, CF = CE * cos(15°).

Выразим AB из этого соотношения: AB = (2 * CE * cos(15°)) / √3.

AB = (2 * 36√3 * cos(15°)) / √3 = 72 * cos(15°).

Используя формулу косинуса половинного угла, cos(15°) = cos(45° - 30°) = cos(45°) * cos(30°) + sin(45°) * sin(30°) = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2) = (√6 + √2) / 4.

Тогда AB = 72 * ((√6 + √2) / 4) = 18 * (√6 + √2).

Ответ: 18 * (√6 + √2)