24. Окружность касается стороны АВ треугольника АВС, у которого ∠C= 90°, и продолжений его сторон АС и ВС за точки А и В соответственно. Докажите, что периметр треугольника АВС равен диаметру этой окружности.

Пусть окружность касается стороны AB в точке T, продолжения стороны AC в точке P и продолжения стороны BC в точке Q.

Пусть A, B, C - вершины прямоугольного треугольника, угол C = 90 градусов.

Окружность касается AB в точке T, AC - в точке P, BC - в точке Q.

Докажем, что периметр треугольника ABC равен диаметру окружности.

Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

AP = AT, BQ = BT, CP = CQ.

Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC.

AB = AT + TB

AC = AP + PC, а так как AP = AT, то AC = AT + PC.

BC = BQ + QC, а так как BQ = BT, то BC = BT + QC.

Периметр треугольника ABC = AT + BT + AT + PC + BT + QC = 2AT + 2BT + PC + QC.

PC = CQ, поэтому периметр = 2AT + 2BT + 2PC = 2(AT + BT + PC).

Центр окружности, вписанной во внешний угол прямого угла, лежит на биссектрисе этого угла.

Пусть O - центр окружности, тогда CP = CQ = r, где r - радиус окружности.

Проведем перпендикуляры OA1 на AC и OB1 на BC, тогда OA1CB1 - квадрат со стороной r, значит OC - его диагональ и равна r√2.

OC = r√2. Угол ACO = 45 градусов. AT и BT - касательные, OAT = OBT = 90 градусов.

PC = r - радиус, вписанной во внешний угол окружности. AC + BC = 2r (сумма катетов равна диаметру вписанной во внешний угол окружности.)

Периметр = AB + AC + BC.

Т.к. AC + BC = 2r, то P = AB + 2r.

В прямоугольном треугольнике AB = √(AC^2 + BC^2).

AC = r - PC и BC = r - CQ. Следовательно AB = √((r-PC)^2 + (r-CQ)^2) = √2(r-PC).

AB = r√2. P = r√2 + 2r = 2r.

P = 2r - диаметру этой окружности.

Ответ: Доказано, что периметр треугольника АВС равен диаметру этой окружности.