Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 1. Найдите её большее основание, если диагональ трапеции образует с этим основанием и боковой стороной углы, равные α.

По рисунку диагональ образует угол α с большим основанием и угол α с наклонной боковой стороной. Значит, угол между большим основанием и наклонной стороной равен \(2\alpha\).

Пусть большее основание равно \(b\), а высота — \(h\). Тогда из прямоугольных треугольников \(\tan\alpha=\frac{h}{b}\) и \(\tan 2\alpha=\frac{h}{b-1}\).

Используя \(h=b\tan\alpha\) и \(h=(b-1)\tan 2\alpha\), получаем \(b\tan\alpha=(b-1)\tan 2\alpha\). Отсюда \(b=\frac{\tan 2\alpha}{\tan 2\alpha-\tan\alpha}=2\cos^2\alpha\).

Ответ: \(2\cos^2\alpha\).