Мишка вспомнилпробабушкуикота, потомучто ему стало понастоящему стыдно.

Мишка вспомнил про бабушку и кота, потому что ему стало по-настоящему стыдно.

Применим протокол А (орфография).

1. Определим орфограмму.
2. Сформулируем школьное правило.
3. Разберем слово с пропуском.
4. Сравним варианты написания.

В слове "пробабушку_кота" пропущена гласная. В данном случае необходимо вставить союз "и", так как соединяет однородные члены предложения.

Применим протокол А (орфография).

1. Определим орфограмму.
2. Сформулируем школьное правило.
3. Разберем слово с пропуском.
4. Сравним варианты написания.

В слове "по_настоящему" пропущена гласная. В данном случае пишем наречие "по-настоящему" через дефис, так как образовано от прилагательного с приставкой "по" и суффиксом "-ему".

Ответ: Мишка вспомнил про бабушку и кота, потому что ему стало по-настоящему стыдно.