Моторная лодка прошла 63 км по течению реки и 45 км против течения, затратив на весь путь 6 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения, если известно, что, двигаясь 5 ч по течению реки, она проходит тот же путь, что за 7 ч. Против течения.

Пусть \(v\) - скорость лодки в стоячей воде, а \(u\) - скорость течения реки. Составим систему уравнений на основе условия задачи. 1) По условию, лодка прошла 63 км по течению и 45 км против течения за 6 часов. Время, затраченное на путь по течению, равно \(\frac{63}{v + u}\), а время, затраченное на путь против течения, равно \(\frac{45}{v - u}\). Суммарное время равно 6 часам, поэтому: \(\frac{63}{v + u} + \frac{45}{v - u} = 6\) 2) Также известно, что, двигаясь 5 часов по течению, лодка проходит то же расстояние, что и за 7 часов против течения. Значит: \(5(v + u) = 7(v - u)\) Теперь у нас есть система двух уравнений: \( \begin{cases} \frac{63}{v + u} + \frac{45}{v - u} = 6 \\ 5(v + u) = 7(v - u) \end{cases} \) Упростим второе уравнение: \(5v + 5u = 7v - 7u\) \(12u = 2v\) \(v = 6u\) Теперь подставим \(v = 6u\) в первое уравнение: \(\frac{63}{6u + u} + \frac{45}{6u - u} = 6\) \(\frac{63}{7u} + \frac{45}{5u} = 6\) \(\frac{9}{u} + \frac{9}{u} = 6\) \(\frac{18}{u} = 6\) \(u = \frac{18}{6} = 3\) Теперь найдем \(v\): \(v = 6u = 6 \cdot 3 = 18\) Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна 18 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ: Скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч.