Моторная лодка прошла по течению реки 10 км и против течения 8 км, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость движения моторной лодки против течения реки.

Решение:

1. Обозначим скорость моторной лодки в стоячей воде как \( v \) км/ч.
2. Скорость лодки по течению: \( v + 2 \) км/ч.
3. Скорость лодки против течения: \( v - 2 \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{10}{v+2} \) ч.
5. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{8}{v-2} \) ч.
6. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 1 \) ч.
7. Составим и решим уравнение: \[ \frac{10}{v+2} + \frac{8}{v-2} = 1 \]
8. Приведем дроби к общему знаменателю \( (v+2)(v-2) \): \[ \frac{10(v-2) + 8(v+2)}{(v+2)(v-2)} = 1 \] \[ \frac{10v - 20 + 8v + 16}{v^2 - 4} = 1 \] \[ \frac{18v - 4}{v^2 - 4} = 1 \]
9. Умножим обе части на \( v^2 - 4 \), предполагая \( v \neq 2 \) и \( v \neq -2 \): \[ 18v - 4 = v^2 - 4 \] \[ v^2 - 18v = 0 \] \[ v(v - 18) = 0 \]
10. Получаем два возможных значения для \( v \): \( v = 0 \) или \( v = 18 \).
11. Так как скорость лодки не может быть 0 (иначе она бы не двигалась), выбираем \( v = 18 \) км/ч.
12. Найдем скорость движения моторной лодки против течения: \( v - 2 = 18 - 2 = 16 \) км/ч.

Ответ: 16 км/ч