4. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Ми К так, что ∠BAK = = ∠ВСМ. Докажите, что ВМ = = BK.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB и BC. На сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно, такие что ∠BAK = ∠BCM. Нужно доказать, что BM = BK.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC и ∠BAC = ∠BCA.
2. По условию, ∠BAK = ∠BCM.
3. Рассмотрим треугольники BAK и BCM:
• AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника).
• ∠BAK = ∠BCM (по условию).
• ∠ABK = ∠CBM (так как ∠ABC - общий).
4. Треугольники BAK и BCM равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
5. Следовательно, BK = BM как соответствующие стороны равных треугольников.

Ответ: BM = BK.