Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки Р и К так, что АР = СК (точка Р лежит между точками А и К). Докажите, что…Фото задания

Ответ:

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ADP \) и \( \triangle CBK \).

  1. \( AD = BC \) (противоположные стороны параллелограмма равны).
  2. \( \angle ADP = \angle CBK \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD, так как ABCD — параллелограмм).
  3. \( \angle DAP = \angle KCB \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AC, так как ABCD — параллелограмм).
  4. \( AC = BD \) (диагонали параллелограмма равны).
  5. \( AO = OC = BO = OD \) (диагонали точкой пересечения делятся пополам).
  6. \( AP = CK \) (по условию).
  7. \( DP = \frac{1}{2} BD \) и \( BK = \frac{1}{2} AC \) (неверно, это для точки пересечения диагоналей).

Переформулируем решение, используя равенство треугольников.

Рассмотрим треугольники \( \triangle ADP \) и \( \triangle CBK \).

  1. \( AD = BC \) (противоположные стороны параллелограмма равны).
  2. \( \angle DAP = \angle KCB \) (как накрест лежащие углы при параллельных AB и DC и секущей AC).
  3. \( AP = CK \) (по условию).
  4. Из равенства \( AP = CK \) следует, что \( OP - OA = OK - OC \) (где O — точка пересечения диагоналей).
  5. \( OP = OA \) и \( OK = OC \) (по свойству диагоналей параллелограмма).
  6. \( OA = OC = \frac{1}{2} AC \), \( OB = OD = \frac{1}{2} BD \).
  7. \( AC = BD \) (диагонали параллелограмма равны).
  8. Таким образом, \( OP = OA = \frac{1}{2} AC \) и \( OK = OC = \frac{1}{2} BD \).
  9. Поскольку \( AC = BD \), то \( OP = OK \) и \( OA = OC \).
  10. \( OP + OA = AP \) и \( OK + OC = CK \).
  11. \( \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC = AC \).
  12. \( \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD = BD \).
  13. \( AP = CK \) (по условию).
  14. Рассмотрим \( \triangle ADP \) и \( \triangle CBK \).
  15. \( AD = BC \) (стороны параллелограмма).
  16. \( \angle DAP = \angle KCB \) (накрест лежащие углы при AB || DC и секущей AC).
  17. \( AP = CK \) (дано).
  18. Следовательно, \( \triangle ADP = \triangle CBK \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
  19. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны. \( DP = BK \) и \( \angle ADP = \angle CBK \).

Доказано.