17.5. На катетах прямоугольного треугольника отметили по точке. Докажите, что соединяющий их отрезок не больше гипотенузы треугольника (рис. 17.16).

Пусть дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). Пусть точка \(D\) лежит на катете \(AC\), а точка \(E\) - на катете \(BC\). Нужно доказать, что отрезок \(DE\) не больше гипотенузы \(AB\). Рассмотрим четырехугольник \(CDEO\), где \(O\) - середина гипотенузы \(AB\). Так как \(OC = OA = OB\), то \(OC\) - медиана, проведенная к гипотенузе. Тогда \(DE\) не может быть больше \(AB\), следовательно, \(DE \le AB\).