На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник АВС. Найдите тангенс угла АВС.

Опустим перпендикуляр из точки С на прямую АВ. Пусть точка пересечения будет D.

Координаты точек: A=(4,0), B=(0,2), C=(1,3).

Вектор BA = (4, -2). Вектор BC = (1, 1).

Найдем координаты точки D, спроецировав C на прямую AB. Уравнение прямой AB: $$y-0 = rac{2-0}{0-4}(x-4) ightarrow y = -rac{1}{2}(x-4) ightarrow x+2y-4=0$$.

Уравнение перпендикуляра из C: $$y-3 = 2(x-1) ightarrow y=2x+1$$.

Пересечение: $$x+2(2x+1)-4=0 ightarrow x+4x+2-4=0 ightarrow 5x=2 ightarrow x=0.4$$. $$y=2(0.4)+1 = 1.8$$. D=(0.4, 1.8).

CD = $$\sqrt{(1-0.4)^2 + (3-1.8)^2} = \sqrt{0.6^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.36+1.44} = \sqrt{1.8}$$.

BD = $$\sqrt{(0-0.4)^2 + (2-1.8)^2} = \sqrt{(-0.4)^2 + 0.2^2} = \sqrt{0.16+0.04} = \sqrt{0.2}$$.

tg(ABC) = CD/BD = $$\sqrt{1.8/0.2} = \sqrt{9} = 3$$.