На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги АВ равна 99. Найдите длину большей дуги.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\pi R \alpha}{180°} \), где \( R \) — радиус окружности, \( \alpha \) — центральный угол, выраженный в градусах.

Длина меньшей дуги АВ равна 99 и соответствует центральному углу 66°.

\( 99 = \frac{\pi R \cdot 66°}{180°} \)

Чтобы найти длину большей дуги, нужно знать радиус R. Выразим R из первого уравнения:

\( R = \frac{99 \cdot 180°}{\pi \cdot 66°} \)

\( R = \frac{99 \cdot 3°}{\pi \cdot 1.1°} \)

\( R = \frac{297}{\pi \cdot 1.1} \)

\( R = \frac{270}{\pi} \)

Центральный угол, соответствующий большей дуге АВ, равен \( 360° - 66° = 294° \).

Теперь вычислим длину большей дуги:

\( L_{большая} = \frac{\pi R \cdot 294°}{180°} \)

Подставим найденное значение R:

\( L_{большая} = \frac{\pi \cdot \frac{270}{\pi} \cdot 294°}{180°} \)

\( L_{большая} = \frac{270 \cdot 294°}{180°} \)

\( L_{большая} = \frac{3 \cdot 294°}{2°} \)

\( L_{большая} = 1.5 \cdot 294 \)

\( L_{большая} = 441 \)

Ответ: 441