На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка P, а на сторонах AB и BC — соответственно точки M и K, AM = CK, 2MK = AC = 4AP. Найдите угол PMK.

Обозначим AC = L. Из 2MK = AC следует MK = L/2. Поскольку AB = BC и AM = CK, точки M и K делят равные боковые стороны в одинаковом отношении. Поэтому MK параллелен основанию AC, а \(MK/AC = AM/AB\). Отсюда AM/AB = 1/2: M и K — середины боковых сторон.

Пусть A = (0, 0), C = (L, 0), B = (L/2, h). Тогда M = (L/4, h/2), K = (3L/4, h/2). Из AC = 4AP получаем AP = L/4, поэтому P = (L/4, 0).

Отрезок MP вертикален, а MK горизонтален, следовательно, MP ⟂ MK.

Ответ: ∠PMK = 90°.