В прямоугольнике ABCD точки M и K — середины сторон AB и AD соответственно. На прямой AC взята точка P, на прямой BD — точка E, MP ⟂ AC, KE ⟂ BD. Известно, что 4KE = AD. Найдите отношение сторон AP : PC.

Обозначим AB = w, AD = h, а диагональ BD = d. Введём координаты: A(0, 0), B(w, 0), D(0, h), C(w, h). Тогда K(0, h/2).

Расстояние от K до прямой BD равно KE. Уравнение BD: hx + wy − wh = 0, поэтому

\(KE = \dfrac{wh/2}{\sqrt{w^2+h^2}} = \dfrac{wh}{2d}\).

По условию 4KE = h, следовательно, \(2w/d = 1\), то есть d = 2w. Так как \(d^2 = w^2+h^2\), получаем \(h^2 = 3w^2\).

Точка P — проекция M на AC. Доля диагонали AC, на которой находится P, равна отношению проекции AM к AC: \(AP/AC = w^2/(2(w^2+h^2)) = 1/8\). Значит, \(PC/AC = 7/8\).

Ответ: AP : PC = 1 : 7.