3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки Ми К так, что ∠ABM = ∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СK.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB = BC$$, и $$\angle BAC = \angle BCA$$.

Дано: $$\angle ABM = \angle CBK$$.

Докажем, что $$AM = CK$$.

$$\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC$$.

$$\angle CBK + \angle MBС = \angle ABC$$.

Так как $$\angle ABM = \angle CBK$$, то $$\angle MBC = \angle ABC - \angle ABM = \angle ABC - \angle CBK$$.

Значит, $$\angle MBC = \angle ABC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CBK$$.

• $$AB = BC$$ (по условию);
• $$\angle ABM = \angle CBK$$ (по условию);
• $$\angle BAM = \angle BCK$$ (углы при основании равнобедренного треугольника $$ABC$$).

Следовательно, треугольники $$ABM$$ и $$CBK$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство сторон $$AM$$ и $$CK$$.

Следовательно, $$AM = CK$$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.