275 На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника АВС.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка M лежит на основании AB и равноудалена от боковых сторон AC и BC. Нужно доказать, что CM - высота треугольника ABC.

Доказательство:

1) Пусть ME и MF - перпендикуляры, опущенные из точки M на стороны AC и BC соответственно. ME и MF - расстояния от точки M до AC и BC. По условию ME = MF.

2) Рассмотрим треугольники MEC и MFC. Они прямоугольные, так как ME и MF - перпендикуляры. MC - общая сторона.

3) Так как треугольник ABC равнобедренный, ∠CAB = ∠CBA, а значит, и ∠CAM = ∠CBM, так как точка M лежит на основании AB.

4) Треугольники MEC и MFC равны по гипотенузе и катету (MC - общая, ME = MF).

5) Следовательно, углы ∠MCA и ∠MCB равны. Значит, CM - биссектриса угла ACB.

6) Так как треугольник ABC равнобедренный, биссектриса угла при вершине (CM) является и высотой, и медианой.

7) Значит, CM - высота треугольника ABC.

Ответ: Доказано, что CM — высота треугольника АВС.