4. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 12 и BC = 3. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Пусть окружность с центром в точке A проходит через точку C. Тогда AC - радиус окружности. Пусть BT - касательная к окружности, проведенная из точки B, T лежит на окружности. Тогда AT - радиус, и AT = AC = 12. Так как BT - касательная, то угол ATB - прямой (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания). Следовательно, треугольник ATB - прямоугольный. По теореме Пифагора: \(AB^2 = AT^2 + BT^2\) Длина AB = AC + CB = 12 + 3 = 15 \(15^2 = 12^2 + BT^2\) \(BT^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81\) \(BT = \sqrt{81} = 9\) Ответ: BT = 9