1. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 60 и ВС = 27. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке А и радиусом AC = 60. Точка В лежит вне окружности, так как АВ = АС + СВ = 60 + 27 = 87 > 60. Пусть BD - касательная к окружности, D лежит на окружности. Тогда AD - радиус окружности, и AD = 60.

Касательная BD перпендикулярна радиусу AD, проведенному в точку касания, поэтому треугольник ADB - прямоугольный с прямым углом D. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$, откуда $$BD^2 = AB^2 - AD^2$$.

Подставим значения: $$BD^2 = 87^2 - 60^2 = (87 + 60)(87 - 60) = 147 \times 27 = 3969$$. Следовательно, $$BD = \sqrt{3969} = 63$$.

Ответ: 63