4. На расстоянии 3 см от центра шара проведено сечение, площадь которого 16π см². Найдите объем V шара. В ответе укажите значение \(\frac{6V}{\pi}\).

Пусть (d) - расстояние от центра шара до сечения, тогда (d = 3) см. Площадь сечения (S) равна (16\pi \text{ см}^2). Сечение шара плоскостью есть круг. Площадь круга (S = \pi r^2), где (r) - радиус сечения. Тогда: \[\pi r^2 = 16\pi\] \[r^2 = 16\] \[r = 4\text{ см}\] Радиус шара (R) можно найти по теореме Пифагора: \[R^2 = d^2 + r^2\] \[R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\] \[R = 5\text{ см}\] Объем шара (V) равен: \[V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (5^3) = \frac{4}{3}\pi (125) = \frac{500}{3}\pi \text{ см}^3\] Тогда: \[\frac{6V}{\pi} = \frac{6}{\pi} \cdot \frac{500}{3}\pi = 2 \cdot 500 = 1000\] Ответ: 1000