3. В конус, осевое сечение которого — равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 2√3 см. а) 1 см; в) √3 см; б) 2 см; г) 2√3 см.

Пусть образующая конуса равна (l), тогда (l = 2\sqrt{3}\) см. Так как осевое сечение - равносторонний треугольник, то сторона этого треугольника равна образующей конуса, то есть (a = l = 2\sqrt{3}\) см. Радиус шара, вписанного в конус с равносторонним осевым сечением, равен трети высоты этого треугольника. Высота равностороннего треугольника (h) вычисляется по формуле: \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Тогда, (h = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3) см. Радиус шара (r) равен: \[r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1\text{ см}\] Ответ: а) 1 см.