2. На рис. 166 ∠B= ∠D=91°, BD = 12 см, ВО = 6 см, DC = 11 см. Найдите АВ.

Рассмотрим треугольники BОА и DOC.

• ∠B = ∠D = 91°
• BO = 6 см
• BD = 12 см
• DC = 11 см

Так как углы B и D прямые, то треугольники BОА и DOC - прямоугольные.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. ∠B + ∠D = 91° + 91° = 182°. Значит, вокруг этого четырехугольника нельзя описать окружность.

Рассмотрим треугольник BОА. ∠B = 91°, значит ∠OAB - острый. ∠BOA и ∠DOC - вертикальные и равны. ∠OCD - острый, значит треугольник BОА подобен треугольнику DOC.

Отношение сторон:

$$\frac{BO}{DO} = \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC}$$

Найдем DO:

DO = BD - BO = 12 - 6 = 6 см

Тогда:

$$\frac{6}{6} = \frac{AB}{11}$$ $$\frac{AB}{11} = 1$$ $$AB = 11$$

Ответ: AB = 11 см.