4. Периметр треугольника АВС равен 51 см, АВ = 18 см, ВС : АС = 5:6. Докажите, что ∠B = ∠С.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон: AB + BC + AC = 51 см.

Известно, что AB = 18 см, BC : AC = 5:6. Пусть BC = 5x, AC = 6x.

Составим уравнение:

$$18 + 5x + 6x = 51$$ $$11x = 51 - 18$$ $$11x = 33$$ $$x = 3$$

Тогда BC = 5 * 3 = 15 см, AC = 6 * 3 = 18 см.

Получается, что AB = AC = 18 см, следовательно, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠B = ∠С.

Ответ: ∠B = ∠С доказано.