3. На рис. 63 АB = BC, ∠CBD = 50°, AD = 4 см. Найдите ΔАВС и АС.

Рассмотрим треугольник АВС. Т.к. АВ = ВС, то треугольник АВС равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: ∠ВАС = ∠ВСА.

∠CBD - внешний угол треугольника АВС, смежный с углом ∠ABC, т.е. ∠CBD = 180° - ∠ABC.

Отсюда ∠ABC = 180° - ∠CBD = 180° - 50° = 130°.

Т.к. ∠ВАС = ∠ВСА, то ∠ВАС = ∠ВСА = (180° - 130°)/2 = 25°.

Рассмотрим треугольник ABD. ∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 25° - 90° = 65°.

Т.к. треугольник ABD прямоугольный, то АВ = AD/cos(∠BAD) = 4/cos(25°) ≈ 4/0,9 = 4,4 см.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = 2 * AB * sin(∠ABC/2) = 2 * 4,4 * sin(65°) ≈ 2 * 4,4 * 0,9 = 7,9 см.

Ответ: ∠ВАС = ∠ВСА = 25°, AC ≈ 7,9 см