4. На рис. 68 ВЕ-12 см, АЕ6 см, СЕ-36 см, DE - 18 см. Докажите подобие треугольников АВЕ и ДСЕ и найдите отношение S: S.

Решение:

На рисунке 68 у нас есть два треугольника: \(\triangle ABE\) и \(\triangle DCE\). Из условия задачи известно, что BE = 12 см, AE = 6 см, CE = 36 см, DE = 18 см. Наша задача - доказать, что треугольники подобны и найти отношение их площадей \(\frac{S_{\triangle DCE}}{S_{\triangle ABE}}\,\).

Чтобы доказать подобие, проверим пропорциональность сторон:

\[\frac{AE}{DE} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\] \[\frac{BE}{CE} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\]

Так как \(\frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE} = \frac{1}{3}\), стороны пропорциональны.

Теперь рассмотрим углы. Углы \(\angle AEB\) и \(\angle DEC\) вертикальные, а значит, они равны:

\[\angle AEB = \angle DEC\]

Мы доказали, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы между этими сторонами равны. Следовательно, \(\triangle ABE \sim \triangle DCE\) по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Теперь найдем отношение площадей. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон, то есть \(k = \frac{1}{3}\).

Тогда отношение площадей равно:

\[\frac{S_{\triangle DCE}}{S_{\triangle ABE}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\]

Ответ: \(\triangle ABE \sim \triangle DCE\) и \(\frac{S_{\triangle DCE}}{S_{\triangle ABE}} = \frac{1}{9}\)

Отлично! Ты показал хорошее знание геометрии. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!