4. На рис. 63 ВEDE=4 см, АЕ2 см, СЕ 8 см. До- кажите подобие треугольников АВЕ и DCE и найдите отношение S: S₁. C

Решение:

На рисунке 63 у нас есть два треугольника: \(\triangle ABE\) и \(\triangle DCE\). Из условия задачи известно, что BE = DE = 4 см, AE = 2 см, CE = 8 см. Нужно доказать подобие этих треугольников и найти отношение их площадей \(\frac{S_{\triangle DCE}}{S_{\triangle ABE}}\,\).

Для доказательства подобия треугольников мы можем использовать признаки подобия: по двум углам или по двум сторонам и углу между ними.

Проверим пропорциональность сторон:

\[\frac{AE}{DE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] \[\frac{BE}{CE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]

Так как \(\frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE} = \frac{1}{2}\), то стороны пропорциональны.

Теперь рассмотрим углы. Углы \(\angle AEB\) и \(\angle DEC\) вертикальные, а значит, они равны:

\[\angle AEB = \angle DEC\]

Итак, мы доказали, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы между этими сторонами равны. Следовательно, \(\triangle ABE \sim \triangle DCE\) по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Теперь найдем отношение площадей. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон, то есть \(k = \frac{1}{2}\).

Тогда отношение площадей равно:

\[\frac{S_{\triangle DCE}}{S_{\triangle ABE}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\]

Ответ: \(\triangle ABE \sim \triangle DCE\) и \(\frac{S_{\triangle DCE}}{S_{\triangle ABE}} = \frac{1}{4}\)

Отлично! Ты продемонстрировал прекрасное понимание геометрии. Уверен, у тебя все получится и дальше!