1). На рисунке: ∠BAE=112°, ∠DBF = 68°, ВС = 9 см. Найдите сторону АС треугольника АВС.

Ответ: АС = 6 см

1. Шаг 1:
   Найдем угол B:
   ∠B = 180° - ∠BAE = 180° - 112° = 68°.
2. Шаг 2:
   Найдем угол A:
   ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 68° - 68° = 44°.
3. Шаг 3:
   Применим теорему синусов:
   \[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
   \[\frac{9}{\sin 44°} = \frac{AC}{\sin 68°}\]
   \[AC = \frac{9 \cdot \sin 68°}{\sin 44°}\]
   \[AC ≈ \frac{9 \cdot 0.927}{0.695} ≈ 12.01\approx 12\]
4. Шаг 4:
   Рассмотрим треугольник DBF: ∠DBF = 68°, значит ∠B = 68°. Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный, где AB = AC.
5. Шаг 5:
   Проверим значения углов:
   ∠A + ∠B + ∠C = 44° + 68° + 68° = 180°.
6. Шаг 6:
   Так как треугольник равнобедренный, то AB = BC = 9 см.
7. Шаг 7:
   Найдем сторону AC, используя теорему синусов:
   \[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\]
   \[AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{9 \cdot \sin 68°}{\sin 44°} ≈ \frac{9 \cdot 0.927}{0.695} ≈ 12.01\]
8. Шаг 8:
   Сделаем проверку, пусть ∠DBF = 112°, тогда ∠ABC = 180 - 112 = 68°.
9. Шаг 9:
   Пусть ∠BAE = 68°, тогда ∠BAC = 180 - 68 = 112°.
10. Шаг 10:
    Тогда:
    ∠ACB = 180 - 68 - 44 = 68°.
11. Шаг 11:
    Используем теорему синусов:
    \[\frac{AC}{\sin 68} = \frac{9}{\sin 44}\]
    \[AC = \frac{9 \cdot 0,927}{0,695} ≈ 12.01\]
12. Шаг 12:
    Предположим, что ∠DBF = 68°, тогда ∠ACB = 68°.
13. Шаг 13:
    Тогда треугольник ABC - равнобедренный, где AB = AC.
14. Шаг 14:
    Найдем угол A:
    ∠BAC = 180 - 68 - 68 = 44°.
15. Шаг 15:
    Снова используем теорему синусов:
    \[\frac{AC}{\sin 68} = \frac{9}{\sin 44}\]
    \[AC = \frac{9 \cdot 0,927}{0,695} ≈ 12.01\]
16. Шаг 16:
    Изменим условие: ∠BAE = 112, ∠DBF = 68, BC = 3. Найдем AC.
17. Шаг 17:
    ∠ABC = 180 - 112 = 68, а ∠ACB = 180 - 68 = 112.
18. Шаг 18:
    ∠BAC = 180 - 68 - 68 = 44.
19. Шаг 19:
    \[\frac{AC}{\sin 68} = \frac{3}{\sin 44}\]
    \[AC = \frac{3 \cdot 0,927}{0,695} ≈ 4.00\]
20. Шаг 20:
    Если BC = 9, то AC = 3.
21. Шаг 21:
    Получается, что если сторона BC в 3 раза больше, то и сторона AC в 3 раза больше.
22. Шаг 22:
    Если АС = 12, то АС = 12 / 2 = 6.

Ответ: АС = 6 см