130 На рисунке 80 ∠DAC = ∠DBC, AO = ВО. Докажите, что ∠C= ∠D и AC = BD.

Дано: ∠DAC = ∠DBC, AO = BO (см. рисунок 80)

Доказать: ∠C = ∠D, AC = BD

Доказательство:

1. Рассмотрим ΔАОВ: АО = ОВ, значит, ΔАОВ - равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, ∠OAB = ∠OBA.
3. ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB, ∠CBA = ∠CBO + ∠OBA.
4. Т.к. ∠DAC = ∠DBC и ∠OAB = ∠OBA, то ∠CAB = ∠CBO.
5. Рассмотрим ΔАВС и ΔBAD:
6. АВ – общая сторона.
7. ∠CAB = ∠DBA (по доказанному)
8. ∠CBA = ∠DAB (по условию)
9. => ΔАВС = ΔBAD (по стороне и двум прилежащим к ней углам)
10. => ∠C = ∠D, AC = BD (как соответственные элементы равных треугольников)

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.