132 В треугольниках АВС И A1B1C1 AB = A1B1, BC = B₁C1, ∠B = ∠B1. На сторонах АВ и А1В1 отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A1C1D1. Докажите, что △BCD = AB₁C₁D1.

Дано: АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, ∠B = ∠B₁, ∠ACD = ∠A₁C₁D₁.

Доказать: △BCD = △B₁C₁D₁.

Доказательство:

1. Рассмотрим ΔАВС и ΔА₁В₁С₁:
2. АВ = А₁В₁ (по условию)
3. ВС = В₁С₁ (по условию)
4. ∠B = ∠B₁ (по условию)
5. => ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ (по двум сторонам и углу между ними)
6. => ∠BAC = ∠B₁A₁C₁, ∠ACB = ∠A₁C₁B₁ (как соответственные элементы равных треугольников)
7. ∠BCD = ∠ACB - ∠ACD, ∠B₁C₁D₁ = ∠A₁C₁B₁ - ∠A₁C₁D₁.
8. Т.к. ∠ACB = ∠A₁C₁B₁ и ∠ACD = ∠A₁C₁D₁, то ∠BCD = ∠B₁C₁D₁.
9. Рассмотрим ΔBCD и ΔB₁C₁D₁:
10. ВС = В₁С₁ (по условию)
11. ∠B = ∠B₁ (по условию)
12. ∠BCD = ∠B₁C₁D₁ (по доказанному)
13. => ΔBCD = ΔB₁C₁D₁ (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.