5. На рисунке 4 ∠FGB= ∠ACB, FG = 4 см, BG = 6 см, GC = 15 см, FA = 10 см. Найдите периметр треугольника ABC: а) 49 см; б) 34 см; в) 20 см; г) 57 см.

1. Рассмотрим рисунок 4. Дано: ∠FGB = ∠ACB, FG = 4 см, BG = 6 см, GC = 15 см, FA = 10 см. Необходимо найти периметр треугольника ABC.

2. Рассмотрим треугольники FBG и ABC. Угол B - общий. ∠FGB = ∠ACB. Следовательно, треугольники FBG и ABC подобны по двум углам.

3. Составим пропорцию:

$$ \frac{FB}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{FG}{AC} $$

4. Найдем BC:

$$ BC = BG + GC = 6 + 15 = 21 \text{ см} $$

5. Найдем AB:

$$ AB = FA + FB = 10 + FB $$

6. Подставим известные значения в пропорцию:

$$ \frac{FB}{10 + FB} = \frac{6}{21} = \frac{4}{AC} $$

7. Из первого равенства:

$$ \frac{FB}{10 + FB} = \frac{6}{21} $$ $$ 21FB = 6(10 + FB) $$ $$ 21FB = 60 + 6FB $$ $$ 15FB = 60 $$ $$ FB = 4 \text{ см} $$

8. Найдем AB:

$$ AB = 10 + 4 = 14 \text{ см} $$

9. Найдем AC:

$$ \frac{6}{21} = \frac{4}{AC} $$ $$ AC = \frac{4 \cdot 21}{6} = \frac{84}{6} = 14 \text{ см} $$

10. Найдем периметр треугольника ABC:

$$ P_{ABC} = AB + BC + AC = 14 + 21 + 14 = 49 \text{ см} $$

Ответ: а) 49 см