247 На рисунке 130 AB = AC, AP = AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС — равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину ос- нования ВС и перпендикулярна к нему.

Решение: а) Докажем, что треугольник \(\triangle BOC\) равнобедренный. 1) Рассмотрим \(\triangle APQ\). Так как \(AP=AQ\), то \(\triangle APQ\) – равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: \(\angle APQ = \angle AQP\). 2) Так как \(AB = AC\), то \(\triangle ABC\) - равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB\). 3) \(\angle BPC = 180^\circ - \angle APQ\) и \(\angle BPC = 180^\circ - \angle AQP\) – как смежные углы. Следовательно, \(\angle BPC = \angle BQC\). 4) \(\angle PBC = \angle ABC - \angle ABP\) и \(\angle QCB = \angle ACB - \angle ACQ\). По условию \(AP = AQ\), следовательно, \(AB - AP = AC - AQ\), то есть \(BP = CQ\). Тогда \(\angle ABP = \angle ACQ\) (как углы равнобедренного треугольника, противолежащие равным сторонам). Следовательно, \(\angle PBC = \angle QCB\). 5) Рассмотрим \(\triangle BOC\): \(\angle OBC = \angle OCB\) (из пункта 4). Значит, \(\triangle BOC\) – равнобедренный. б) Докажем, что прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему. 1) Рассмотрим \(\triangle ABO\) и \(\triangle ACO\). \(AB = AC\) (по условию), \(BO = CO\) (как боковые стороны равнобедренного треугольника \(\triangle BOC\)), AO – общая сторона. Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle ACO\) по трем сторонам. Значит, \(\angle BAO = \angle CAO\), то есть AO - биссектриса \(\angle BAC\). 2) Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то биссектриса, проведенная из вершины A, является также медианой и высотой. Следовательно, AO проходит через середину BC и перпендикулярна к BC. Ответ: а) Доказано, что треугольник ВОС — равнобедренный; б) Доказано, что прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.