5. На рисунке 2 АС = ВС, Z1 = 42. Докажите, что BD = AD.

Рассмотрим треугольник ABC. В нем AC = BC, следовательно, треугольник ABC - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠ABC.

∠ACB = ∠1 + ∠2 = 2∠1 (так как ∠1 = ∠2).

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

∠BAC + ∠BAC + 2∠1 = 180°

2∠BAC + 2∠1 = 180°

∠BAC + ∠1 = 90°

∠BAC = 90° - ∠1

∠BAC = 90° - ∠1 = 90° - ∠2

Рассмотрим треугольник ADC. В нем ∠DAC = ∠BAC = 90° - ∠2.

∠ACD = ∠2, значит, ∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠ACD = 180° - (90° - ∠2) - ∠2 = 90°.

Следовательно, треугольник ADC - равнобедренный, AD = AC.

Рассмотрим треугольник BDC. В нем ∠DBC = ∠ABC = 90° - ∠1.

∠BCD = ∠1, значит, ∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠BCD = 180° - (90° - ∠1) - ∠1 = 90°.

Следовательно, треугольник BDC - равнобедренный, BD = BC.

Так как AD = AC, BD = BC и AC = BC, то AD = BD.

Ответ: Доказано, что BD = AD.