144 На рисунке 82 АВ=CD, AD = BC, ВЕ – биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ДАВЕ = ACDF.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA:

1. AB = CD (по условию)
2. AD = BC (по условию)
3. AC - общая сторона

Следовательно, треугольник ABC = треугольнику CDA (по трем сторонам), значит, ∠B = ∠D.

BE - биссектриса угла ABC, значит, ∠ABE = ∠EBC = 1/2 ∠ABC.

DF - биссектриса угла ADC, значит, ∠ADF = ∠FDC = 1/2 ∠ADC.

a) ∠ABE = ∠ADF (так как ∠ABC = ∠ADC).

Рассмотрим треугольники ABE и CDF:

1. AB = CD (по условию)
2. ∠ABE = ∠CDF (по доказанному)
3. ∠A = ∠C (так как треугольник ABC = треугольнику CDA)

б) Следовательно, треугольник ABE = треугольнику CDF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: ч.т.д.