145 В треугольниках АВС и А,В,С, медианы ВМ и ВМ₁ равны, AB = A1B1, AC = А1С1. Докажите, что ДАВС = ∆A1B1C1.

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

1. AB = A₁B₁ (по условию)
2. AC = A₁C₁ (по условию)
3. BM = B₁M₁ (по условию)
4. BM - медиана, AM = MC = 1/2 AC
5. B₁M₁ - медиана, A₁M₁ = M₁C₁ = 1/2 A₁C₁

AM = A₁M₁ (так как AC = А1С1).

Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁:

1. AB = A₁B₁ (по условию)
2. BM = B₁M₁ (по условию)
3. AM = A₁M₁ (по доказанному)

Следовательно, треугольник ABM = треугольнику A₁B₁M₁ (по трем сторонам), значит, ∠A = ∠A₁.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:

1. AB = A₁B₁ (по условию)
2. AC = A₁C₁ (по условию)
3. ∠A = ∠A₁ (по доказанному)

Следовательно, треугольник ABC = треугольнику A₁B₁C₁ (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: ч.т.д.