139 На рисунке 76 АВ=CD, AD = BC, ВЕ – биссектриса угла ABC, a DF – биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ZABE = ∠ADF; б) ДАВЕ = ACDF.

а) Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них:

• AB = CD (по условию);
• AD = BC (по условию);
• AC - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABC = ∠ADC.

Так как BE - биссектриса угла ABC, то ∠ABE = ∠ABC / 2.

Так как DF - биссектриса угла ADC, то ∠ADF = ∠ADC / 2.

Поскольку ∠ABC = ∠ADC, то ∠ABE = ∠ADF.

Ответ: ∠ABE = ∠ADF, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольники ABE и CDF. У них:

• AB = CD (по условию);
• ∠ABE = ∠ADF (доказано в пункте а);
• ∠BAE = ∠DCF (следует из равенства треугольников ABC и CDA).

Следовательно, треугольники ABE и CDF равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: ΔABE = ΔCDF, что и требовалось доказать.