140 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ медианы ВМ и В₁М₁ равны, AB = A₁B₁, AC = А₁С₁. Докажите, что ДАВС = ∆A1B1C1

Пусть BM и B₁M₁ - медианы треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответственно.

Дано: BM = B₁M₁, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁.

Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Доказательство:

Продлим медиану BM на отрезок MD = BM, а медиану B₁M₁ на отрезок M₁D₁ = B₁M₁.

Получим параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁.

В параллелограмме ABCD: AD = 2BM, CD = AB.

В параллелограмме A₁B₁C₁D₁: A₁D₁ = 2B₁M₁, C₁D₁ = A₁B₁.

Рассмотрим треугольники ACD и A₁C₁D₁:

• AC = A₁C₁ (по условию);
• CD = A₁B₁ (так как CD = AB, A₁B₁ = AB по условию);
• AD = A₁D₁ (так как AD = 2BM, A₁D₁ = 2B₁M₁, BM = B₁M₁ по условию).

Следовательно, треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAD = ∠C₁A₁D₁.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:

• AB = A₁B₁ (по условию);
• AC = A₁C₁ (по условию);
• ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (так как ∠CAD = ∠C₁A₁D₁).

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: ΔABC = ΔA₁B₁C₁, что и требовалось доказать.