144 На рисунке 82 АВ=CD, AD = BC, ВЕ – биссектриса угла ABC, а DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ДАВЕ = △CDF.

Доказательство:

a) Т.к. AB = CD, AD = BC, AC – общая, то \(\triangle ABC = \triangle CDA\) (по трем сторонам).

=> \(\angle ABC = \angle CDA\) как соответственные элементы в равных треугольниках.

Т.к. ВЕ – биссектриса угла ABC, а DF – биссектриса угла ADC, то \(\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC\), \(\angle ADF = \frac{1}{2} \angle ADC\).

=> \(\angle ABE = \angle ADF\).

б) Рассмотрим \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDF\):

AB = CD (по условию), \(\angle ABE = \angle CDF\) (по доказанному), \(\angle BAE = \angle DCF\) (т.к. \(\angle BAC = \angle DCA\) как соответственные углы в равных треугольниках).

=> \(\triangle ABE = \triangle CDF\) (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: доказано