На рисунке 125 MN||KP, NP = = 20 см, РО = 8 см, МК = = 15 см. Найдите отрезок КО.

Треугольники MNP и OKP подобны по двум углам (MN||KP, углы MNP и OKP соответственные, углы MPN и OPK вертикальные). Значит, стороны пропорциональны:

$$ \frac{MN}{KP} = \frac{NP}{PO} = \frac{MP}{KO} $$

Выразим MK:

$$MK=MP-KP$$

Выразим NO:

$$NO=NP+PO=20+8=28 \text{ см}$$

Выразим MP и KO из пропорции:

$$ \frac{NP}{PO} = \frac{MP}{KO} $$ $$ \frac{20}{8} = \frac{MP}{KO} $$ $$MP = \frac{20 \cdot KO}{8}$$

Так как нам нужно найти КО, выразим МР через МК:

$$MP=MK+KP=15+KP$$

Подставим в пропорцию:

$$15+KP = \frac{20 \cdot KO}{8}$$

Выразим КР из пропорции:

$$ \frac{MN}{KP} = \frac{NP}{PO} $$

Так как MN = MK + KN, выразить MN мы не можем. Для решения воспользуемся другим способом.

Рассмотрим пропорцию:

$$\frac{MK}{KO} = \frac{NP}{PO}$$ $$\frac{15}{KO} = \frac{20}{8}$$ $$KO = \frac{15 \cdot 8}{20} = \frac{15 \cdot 2}{5} = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$$

Ответ: 6 см