В трапеции АBCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВО : OD = 2 : 3, AC = 25 см. Найдите отрезки АО и ОС.

В трапеции ABCD треугольники BOC и DOA подобны. Следовательно, справедливо соотношение:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA}$$

Из условия дано:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{2}{3}$$

Следовательно:

$$\frac{CO}{OA} = \frac{2}{3}$$

Пусть CO = 2x, тогда OA = 3x. Из условия известно, что AC = 25 см. Тогда:

$$CO + OA = AC$$ $$2x + 3x = 25$$ $$5x = 25$$ $$x = 5$$

Следовательно:

$$CO = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$$ $$OA = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}$$

Ответ: AO = 15 см, ОС = 10 см.