167 На рисунке 98 треугольник ADE равнобед- ренный, DE – основание. Докажите, что: а) если BD=CE, TO ∠CAD = ∠BAЕ И АВ = = АС; б) если ∠CAD = ∠BAE, то BD = СЕ И AB = AC.

Доказательство:

а) Если BD = CE, то ∠CAD = ∠BAE и AB = AC:

1. Треугольник ADE равнобедренный, значит AD = AE и ∠ADE = ∠AED.
2. Так как BD = CE, то AD + BD = AE + CE, следовательно, AB = AC.
3. Рассмотрим треугольники ABD и ACE:
4. AB = AC (доказано выше)
5. AD = AE (треугольник ADE равнобедренный)
6. BD = CE (по условию)
7. Следовательно, ΔABD = ΔACE (по трем сторонам).
8. => ∠BAD = ∠CAE (как соответственные углы равных треугольников).
9. ∠DAE - общий. Тогда ∠BAD - ∠DAE = ∠CAE - ∠DAE, следовательно, ∠CAD = ∠BAE.

б) Если ∠CAD = ∠BAE, то BD = CE и AB = AC:

1. Треугольник ADE равнобедренный, значит AD = AE и ∠ADE = ∠AED.
2. ∠DAE - общий. Тогда ∠CAD + ∠DAE = ∠BAE + ∠DAE, следовательно, ∠BAD = ∠CAE.
3. Рассмотрим треугольники ABD и ACE:
4. AD = AE (треугольник ADE равнобедренный)
5. ∠BAD = ∠CAE (доказано выше)
6. ∠ADE = ∠AED (треугольник ADE равнобедренный)
7. Следовательно, ΔABD = ΔACE (по углу и двум прилежащим сторонам).
8. => AB = AC (как соответственные стороны равных треугольников).
9. => BD = CE (как соответственные стороны равных треугольников).

Ответ: Доказано, что если BD = CE, то ∠CAD = ∠BAE и AB = AC; и если ∠CAD = ∠BAE, то BD = CE и AB = AC.