168 Докажите, что середины сторон равнобед- ренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника

Пусть \(\triangle ABC\) - равнобедренный, \(AB = BC\). Пусть \(D\), \(E\) и \(F\) - середины сторон \(AB\), \(AC\) и \(BC\) соответственно. Докажем, что \(\triangle DEF\) - равнобедренный.

Так как D и F - середины сторон AB и BC соответственно, то DF - средняя линия треугольника ABC. Следовательно, \(DF = \frac{1}{2}AC\).

Так как D и E - середины сторон AB и AC соответственно, то DE - средняя линия треугольника ABC. Следовательно, \(DE = \frac{1}{2}BC\).

Так как E и F - середины сторон AC и BC соответственно, то EF - средняя линия треугольника ABC. Следовательно, \(EF = \frac{1}{2}AB\).

Так как \(AB = BC\), то \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC\), то есть \(DE = EF\). Следовательно, \(\triangle DEF\) - равнобедренный.

Ответ: Доказано.