164 Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Пусть даны два равнобедренных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\), у которых \(AB = A_1B_1\) и \(\angle C = \angle C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).

Так как \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) равнобедренные, то \(AB = BC\) и \(A_1B_1 = B_1C_1\). Отсюда следует, что \(AB = BC = A_1B_1 = B_1C_1\).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, \(\angle A = \angle B\) и \(\angle A_1 = \angle B_1\).

Сумма углов треугольника равна 180\(^{\circ}\), следовательно:

$$\angle A = \angle B = \frac{180^{\circ} - \angle C}{2}$$,

$$\angle A_1 = \angle B_1 = \frac{180^{\circ} - \angle C_1}{2}$$.

Так как \(\angle C = \angle C_1\), то \(\angle A = \angle B = \angle A_1 = \angle B_1\).

Итак, в треугольниках \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\): \(AB = A_1B_1\), \(\angle A = \angle A_1\) и \(\angle B = \angle B_1\). Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Доказано.