22.4. На рисунке 122 в четырехугольнике EMKP ∠EPM = ∠PMK = 90°, ∠MEP = ∠MKP = 30°. 1) Докажите, что EM параллельна PK. 2) Докажите, что 5 < EP < 10, если длина отрезка ME равна 10. 3) Найдите длину медианы MD в треугольнике PMK.

1) ∠EPM = ∠PMK = 90°, ∠MEP = ∠MKP = 30°. Следовательно, EM || PK (так как ∠MEP = ∠MKP как накрест лежащие углы при прямых EM и PK и секущей MP).

2) Рассмотрим треугольник MEP. ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°. Тогда EP = ME * cos(∠MEP) = 10 * cos(30°) = 10 * (√3 / 2) = 5√3 ≈ 5 * 1.732 = 8.66. Следовательно, 5 < EP < 10 верно, так как 5 < 8.66 < 10.

3) В прямоугольном треугольнике PMK медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. MK = ME (так как EMKP - прямоугольная трапеция). MD = MK/2 = ME/2. Рассмотрим треугольник MKP. ∠MKP = 30°, ∠PMK = 90°. Тогда MP = MK * sin(30°) = MK * 1/2 = MK/2. PK = MK * cos(30°) = MK * (√3 / 2). MK = ME. MD = ME/2 = 10/2 = 5.