На рисунке AB = CD, AD = BC, ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3. Докажите, что △ABE = △DCF. Найдите ∠BAE, если ∠FCD = 40°.

Так как \(AB=CD\), \(AD=BC\), а \(BD\) — общая сторона, треугольники ABD и CDB равны по трём сторонам. Отсюда соответствующие углы \(\angle ABD=\angle CDB\) и \(\angle ADB=\angle CBD\).

По рисунку E лежит на AD, а F — на BC. Поэтому \(\angle ABE=\angle ABD-\angle 2\), а \(\angle CDF=\angle CDB-\angle 3\). С учётом \(\angle 2=\angle 3\) получаем \(\angle ABE=\angle CDF\). Также \(\angle BAE=\angle BAD=\angle BCD=\angle DCF\), используя равенство соответствующих углов равных треугольников и заданные угловые отметки на рисунке. Следовательно, \(\triangle ABE\cong\triangle DCF\) по стороне и двум прилежащим углам, при соответствии A↔C, B↔D, E↔F.

В частности, \(\angle BAE=\angle DCF=\angle FCD=40°\).

Ответ: ∠BAE = 40°.