На рисунке изображён график функции \( f(x) = b - \sqrt{a - x} \). Найдите значение \( x \), при котором \( f(x) = -7 \).

Решение:

Из графика видно, что функция определена для \( x \le a \).

Также можно определить значения \( a \) и \( b \) из графика:

• Точка \( (a, b) \) — начало области определения функции, из графика видно, что \( a=1 \) и \( b=0 \).
• Проверим точку \( (0, 1) \). Подставляем \( x=0 \) в функцию: \( f(0) = b - \sqrt{a - 0} = b - \sqrt{a} \). Из графика \( f(0) = 1 \), значит \( b - \sqrt{a} = 1 \).
• Проверим точку \( (1, 0) \). Подставляем \( x=1 \) в функцию: \( f(1) = b - \sqrt{a - 1} \). Из графика \( f(1) = 0 \), значит \( b - \sqrt{a-1} = 0 \).
• Если \( a=1 \) и \( b=0 \), то \( 0 - \sqrt{1-1} = 0 \), что верно.
• Если \( a=1 \) и \( b=0 \), то \( 0 - \sqrt{1} = -1 \), что не равно 1.

Рассмотрим точки на графике:

• Точка \( (0, 1) \) — \( 1 = b - \sqrt{a} \).
• Точка \( (1, 0) \) — \( 0 = b - \sqrt{a-1} \) → \( b = \sqrt{a-1} \).
• Подставляем \( b \) из второго уравнения в первое: \( 1 = \sqrt{a-1} - \sqrt{a} \).

Это уравнение не имеет смысла. Вернемся к анализу графика.

Из графика видно, что область определения функции \( x ≤ 1 \). Вершина графика находится в точке \( (1, 0) \). Следовательно, \( a=1 \) и \( b=0 \). Функция имеет вид \( f(x) = -\sqrt{1-x} \).

Теперь найдем \( x \), при котором \( f(x) = -7 \):

\[ -\sqrt{1-x} = -7 \]\[ \sqrt{1-x} = 7 \]

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ 1-x = 7^2 \]\[ 1-x = 49 \]\[ x = 1 - 49 \]\[ x = -48 \]

Проверим, входит ли \( x = -48 \) в область определения \( x ≤ 1 \). Да, входит.

Ответ: -48