Найдите \( \sin 2\alpha \), если \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \), \( \alpha \in [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \).

Решение:

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

Нам известно \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \). Нам нужно найти \( \cos \alpha \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]\[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 \]\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} \]\[ \cos^2 \alpha = \frac{169 - 25}{169} \]\[ \cos^2 \alpha = \frac{144}{169} \]

Извлекая квадратный корень, получаем:

\[ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} \]

По условию, \( \alpha \in [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \). Это четвертый координатный угол. В четвертом квадранте косинус положительный, а синус отрицательный.

Так как \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} < 0 \) и \( \alpha \) находится в четвертом квадранте, то \( \cos \alpha \) должен быть положительным.

Следовательно, \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \).

Теперь найдем \( \sin 2\alpha \):

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]\[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(\frac{12}{13}\right) \]\[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{60}{169}\right) \]\[ \sin 2\alpha = -\frac{120}{169} \]

Ответ: -120/169