В магазине «Оптика» продаются солнцезащитные очки. В витрине представлены 24 модели, из них 14 — с антибликовым покрытием и 11 — с фотохромным покрытием. Очков без покрытия нет. Сколько моделей имеют и антибликовое, и фотохромное покрытие?

Решение:

Пусть \( A \) — множество моделей с антибликовым покрытием, а \( B \) — множество моделей с фотохромным покрытием.

Из условия известно:

• Общее число моделей \( |A \cup B| = 24 \) (так как очков без покрытия нет).
• Число моделей с антибликовым покрытием \( |A| = 14 \).
• Число моделей с фотохромным покрытием \( |B| = 11 \).

По формуле включения-исключения для двух множеств:

\[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \]

Где \( |A \cap B| \) — число моделей, имеющих и антибликовое, и фотохромное покрытие.

Подставляем известные значения:

\[ 24 = 14 + 11 - |A \cap B| \]\[ 24 = 25 - |A \cap B| \]\[ |A \cap B| = 25 - 24 \]\[ |A \cap B| = 1 \]

Ответ: 1