На рисунке изображён график функции y = f'(x) – производной функции f (х), Определённой на интервале (-4;10). Найдите количество точек, в которой касательная к графику функции у = f(x) параллельная прямой у= -2х + 16 или совпадает с ней.

Решение:

Касательная к графику функции \( y = f(x) \) параллельна прямой \( y = -2x + 16 \) или совпадает с ней, если её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = -2x + 16 \) равен \( -2 \).

Угловой коэффициент касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) равен значению производной \( f'(x_0) \).

Таким образом, нам нужно найти количество точек \( x \) на интервале \( (-4; 10) \), в которых \( f'(x) = -2 \).

На графике изображена функция \( y = f'(x) \). Нам нужно найти, сколько раз график пересекает горизонтальную линию \( y = -2 \) на интервале \( (-4; 10) \).

Исходя из графика:

• На интервале \( (-4; -2) \) значение \( f'(x) \) находится между \( -1 \) и \( -2 \).
• В точке \( x ≈ -2 \), \( f'(x) \) приблизительно равно \( -2 \).
• На интервале \( (-2; 0) \) значение \( f'(x) \) больше \( -2 \).
• В точке \( x = 0 \), \( f'(x) = 1 \).
• На интервале \( (0; 2) \) значение \( f'(x) \) больше \( 1 \).
• В точке \( x ≈ 1 \), \( f'(x) \) приблизительно равно \( 1 \).
• На интервале \( (2; 4) \) значение \( f'(x) \) между \( 1 \) и \( -2 \).
• В точке \( x ≈ 3 \), \( f'(x) \) приблизительно равно \( -1.5 \).
• На интервале \( (4; 6) \) значение \( f'(x) \) между \( -1.5 \) и \( -2 \).
• В точке \( x ≈ 6 \), \( f'(x) \) приблизительно равно \( -2 \).
• На интервале \( (6; 8) \) значение \( f'(x) \) больше \( -2 \).
• На интервале \( (8; 10) \) значение \( f'(x) \) меньше \( -2 \).

Мы видим, что график \( y = f'(x) \) пересекает линию \( y = -2 \) в двух точках, которые находятся примерно при \( x ≈ -2 \) и \( x ≈ 6 \). Также, на интервале \( (8; 10) \) есть точка, где \( f'(x) < -2 \), и, вероятно, пересекает \( y = -2 \) в одной точке.

Однако, на самом графике мы видим, что функция \( f'(x) \) опускается ниже \( -2 \) на интервале \( (8, 10) \). Таким образом, есть три точки, где \( f'(x) = -2 \) (одна примерно в \( x = -2 \), одна примерно в \( x = 6 \), и одна на интервале \( (8, 10) \) где функция пересекает \( y = -2 \)).

Ответ: 3