4. На рисунке треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС, AD — его высота, BD = 16 см, DC = 4 см. Найдите основание АС и высоту AD.

Так как AD - высота, то треугольник ADC - прямоугольный.

$$AC = AD + DC = 16 + 4 = 20$$ см

Треугольник ABC - равнобедренный, следовательно, высота BD является и медианой. Тогда

$$AC = 2 \cdot DC = 2 \cdot 4 = 8$$ см.

Рассмотрим треугольник ABD - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

$$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2}$$

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то $$AB = BC$$

Рассмотрим треугольник BDC - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$BC^2 = BD^2 + DC^2 = 16^2 + 4^2 = 256 + 16 = 272$$

$$AD = \sqrt{272 - 16^2} = \sqrt{272 - 256} = \sqrt{16} = 4$$

Ответ: AC = 8, AD = 4