На средней линии трапеции АBCD с основаниями AD и ВС выбрали произ- вольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади трапеции.

Пусть $$h$$ - высота трапеции, тогда $$\frac{h}{2}$$ - высота каждого из треугольников, образованных средней линией.

Пусть $$BC = a, AD = b$$. Тогда средняя линия равна $$\frac{a+b}{2}$$.

Площадь треугольника $$BEC$$ равна:

1. $$S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4}ah$$

Площадь треугольника $$AED$$ равна:

1. $$S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4}bh$$

Сумма площадей треугольников равна:

1. $$S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{4}ah + \frac{1}{4}bh = \frac{1}{4}h(a+b)$$

Площадь трапеции равна:

1. $$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{1}{2}h(a+b)$$

Сравним сумму площадей треугольников и площадь трапеции:

1. $$\frac{S_{BEC} + S_{AED}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{4}h(a+b)}{\frac{1}{2}h(a+b)} = \frac{1}{2}$$

Следовательно, сумма площадей треугольников равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.